Transformaciones lineales

 Tarea: Informe - Transformaciones lineales

 

1. Qué es una tranformación lineal

• Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones

en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes.

En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Álgebra se

pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para

aproximar localmente funciones, por ejemplo.

• Sean espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo

Una función transforma vectores de en vectores de

Impondremos condiciones para que preserve las operaciones de

suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que sea

equivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en

como las imágenes en V ,W K T V W.

 

2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

F: V→W es una transformación lineal si y sólo si:

• F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v )  ∀u, v∈V

• F ( k . v ) = k . F ( v )   ∀v ∈ V, ∀k ∈ R

 

 

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Propiedad 1

La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo del condominio 0w:

T (0v) = 0w

Demostración:           

T (0v) = T (0.v) = 0.T (v) = 0.w =0w

Donde hemos expresado a 0v como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una  transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

 

Propiedad 2

La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

T (–v) = –T (v)

Demostración:

T (–v) =  T (–1.v) =–1.T (v) =–T (v)

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

 

 

 

 

 

 

 

Propiedad 3

Consideremos r vectores del espacio vectorial V:

v1, v2,..., vr ∈ V

Tomemos una combinación lineal en el dominio:

α1v1 + α2v2 + α3v3 +...+αrvr

Donde αi ∈ R.

Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

F (α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αrvr) = α1F(v1) + α2F(v2)

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.

 

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Para determinar si la transformación T= R²→R² es lineal, primero comprobamos la suma:

 

 

 

 

 

 

Dado que es una transformación lineal seguimos con la fórmula:

 

5. Cómo probar esa transformación lineal.

Ahora, comprobamos si se cumple la condición con el escalar (c):

Como se cumplen las dos condiciones podemos definir con seguridad que T: R²→R², es lineal.